在解微分方程中，有这样的式子：x(y`)^2 -2yy`- x =0 能否把它看做一元二次方程来解？y`是其一阶导数。
3个回答
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可以的。解出来y'=f(x, y), 只是带上了根式，仍需用别的方法才能解出最终的解。
这题可用盯前谈代换法：
令y=xu，则y'=u+xu'，代入原方凯碰程得：
(u+xu')^2-2u(u+xu')-1=0
即-u^2+x^2u'^2-1=0
u'^2/(u^2+1)=1/x^2
du/√(u^2+1)=±dx/x
再令u=tanv, du=sec^2v dv
0.5dsinv*[1/(1+sinv)+1/(1-sinv)]=±dx/x
积分：悔顷ln(1+sinv)/(1-sinv)=±2lnx+C1
(√(1+u^2)+u)/(√1+u^2)-u)=Cx^(±2)
即：
(√(x^2+y^2)+xy)/(√(x^2+y^2/x^2)-xy)=Cx*x^(±2)
这题可用盯前谈代换法：
令y=xu，则y'=u+xu'，代入原方凯碰程得：
(u+xu')^2-2u(u+xu')-1=0
即-u^2+x^2u'^2-1=0
u'^2/(u^2+1)=1/x^2
du/√(u^2+1)=±dx/x
再令u=tanv, du=sec^2v dv
0.5dsinv*[1/(1+sinv)+1/(1-sinv)]=±dx/x
积分：悔顷ln(1+sinv)/(1-sinv)=±2lnx+C1
(√(1+u^2)+u)/(√1+u^2)-u)=Cx^(±2)
即：
(√(x^2+y^2)+xy)/(√(x^2+y^2/x^2)-xy)=Cx*x^(±2)
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