Question

大一高数微积分题，谢谢

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明：在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)的导+f(ξ)=0
谢谢

Answer 1

设g(x)=f(x)*e^x,g'(x)=f'(x)*e^x+f(x)*e^x=[f'(x)+f(x)]*e^x
则g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导
且g(a)=f(a)*e^a=0,g(b)=f(b)*e^b=0,
由拉格朗日中值定理知，
存在ξ,ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0.
即[f'(ξ)+f(ξ)]*e^ξ=0,而e^ξ>0
所以f'(ξ)+f(ξ)=0.

Answer 2

大一课本上有一个定理可以直接证明这题，此题你可以这样想，如果在数轴上有一点其值大于0，一点其值小于0，那么两点之间必有一点等于0，你可以设有一点是此函数最大值，最小值一样可行，在最大值左右极小位置都分别必有一点小于此最大值，左右斜率一个大于0，一个小于0，那么此最大值点斜率等于0，此题大一课本上绝对是有定理证明的，你看看课本吧！绝对有的，因为我只高你一届

Answer 3

除非f(x)=0对[a，b]内所有值成立, 在最大值或者最小值处找。

追问

应该怎么写步骤呢？

追答

就像另一位说的，这个是书中的标准定理，可以看看书上怎么写的

Answer 4

这是书上的一个定理啊