Question

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+cosA

且b的平方=3ac，求角A的度数

Answer 1

题目应该是：2bcosB=acosC+ccosA，且b^2=3ac，求角A的度数
考虑正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=D（D为三角形ABC的外接圆直径），则
a=DsinA,b=DsinB,c=DsinC，代入2bcosB=acosC+ccosA得
D*2sinBcosB=DsinAacosC+DsinCcosA
于是有
sin2B=sin(A+C)
得2B=A+C （如果2B=180°-(A+C)，结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°
又b^2=3ac，故
D^2*sin^2 B=3D^2sinAsinC
sin^2 B=3sinAsinC
(√3/2)^2=3/4=3sinAsinC=3*1/2*[cos(A-C)-cos(A+C)]=3/2*[cos(A-C)+1/2]
得cos(A-C)=0
故A-C=±90°
结合A+C=120°，易得
A=105°或A=15°。
不明白请追问。