Question

大一高数问题，急求。。。！！

分段函数f(x)，当x小于等于1的时候为(2/3)x^3,当x大于1时，为x^2
问题是问在x=1处的左右导数的问题...这个应该是怎么求，为什么好像答案说的是右导数是无穷？？真的很想知道，拜托高人了。。

Answer 1

您好，这道题目，您的书里提供的标准答案的意思，是说f(1)=2/3, 而当x从大于1的一侧趋于1时，(f(x)-f(1))/(x-1)趋于无穷大。于是，标准答案认为这就是右导数，右导数就是无穷大。
但是，标准答案犯了一个错误。我们知道，一个函数只有在一点左连续时，它才可能左可导，我们才去定义它在这一点的左导数；在一点右连续时，它才可能右可导，我们才定义它在这一点的右导数。您可以翻一翻教科书，上面写导数的定义的时候，应该是像这样说的：设函数f(x)在一点x=a处连续……如果……那么我们说f(x)在x=a处可导，把……称为f(x)在x=a处的导数。教科书定义左导数和右导数，应该也是类似的说法。您说的这个函数，在x=1处并不右连续，虽然上面那个式子趋于无穷大，我们也不把这个无穷大称为f(x)在x=1处的右导数。

追问

还是那个问题啥时候可以直接用导数公式，啥时候就得用定义式来做呢，比如这个题求导的话左导数显然是2，那右导数可不可以直接是2x，当x=1的时候也是2？不能用的原因是不是因为那个1不在它的定义域内？谢谢了。辛苦你打这么多字。。

追答

您问的“能不能用”，就是说，我们现在有这些已知条件，还知道一些定义，一些导数公式，由这些已知的东西，能否得出如下结论，就是题目要求的“右导数”与2x（也就是2乘1）是相等的？我并不直接告诉您答案，让您自己判断，会更有用一些。注意我加了引号，因为这个函数在x=1处没有右导数，而题目却求右导数的值，我姑且用“右导数”来表示(f(x)-f(1))/(x-1)在x从大于1的一侧趋于1时的极限（如果存在）。
我们已知的条件，是几个命题，像现在这个样子，您说，您不会判断，这就说明，也许这几个命题现在的形式，不便于我们进行判断。为了判断，就要把这几个命题以及问题变形。
我先打个比方。已知两个命题，第一个，a^4*b=18，第二个，a的平方是3。问b是多少。两个命题形式有差异，一个是符号，一个是文字，看似毫不相干。这里，我们把第二个命题变形为a^2=3. 再变形为(a^2)^2=3^2, 然后变为a^4=9. 变形后的第二个命题，和第一个命题有衔接点了，两者都是数学语言，都含有a^4.这时，b的值就好求了。
现在，我们已知的命题中，有一个是“g(t)=t^2, g'(t)=2t”之类的命题。（这里我故意用字母t而不用x，其实无关紧要。）它与我们已知的其他命题缺乏衔接点，所以我们要把它变形。
变形的方法很多。这里，我们已知的一些其他命题，它们更多地是由表意清晰的数学语言构成。如果把这个命题也变形为数学语言，会有利于创造衔接点。（实际上，在解决一般的数学问题时，我们需要的都是清晰的数学语言。）我们可以把“导数”这个中文词转化为数学语言。于是，原来的“g(t)=t^2, g'(t)=2t”这个命题，可以变形为，“函数g(t)=t^2, 对于任一实数a, 都满足当x趋于a时(g(x)-g(a))/(x-a)趋于2a”，再变形为“对于任一实数a，当x趋于a时，(x^2-a^2)/(x-a)趋于2a”. 由此，“当x趋于1时，(x^2-1)/(x-1)趋于2乘1”.这是命题变形的最后结果。
我们要求的，是(f(x)-f(1))/(x-1)在x从大于1的一侧趋于1时的极限. 既然x从大于1侧趋近，f(x)=x^2. 而f(1)=2/3. 所以要求的变形为“(x^2-2/3)/(x-1)在x从大于1的一侧趋于1时的极限”。现在，“已知条件”和“题目所求”经过变形，有了共同的成分，就是衔接点。但是，衔接又不够紧密。你看，一个里面是x^2-1, 一个里面是x^2-2/3. 两者虽然相似，毕竟不同！这两个命题尽管样子很像，说的仍旧是两回事。所以它们得不出那个结论。
所以，那个公式不能用。
以上就是判断能否用公式的方法。希望对您有帮助。

追问

哥，我凌乱了又...不过好像真懂了一些...

追答

简而言之，就是说，由已知条件和已知的导数公式，可以得出，“当x趋于1时，(x^2-1)/(x-1)趋于2乘1”。而题目要我们求的东西，可以认为是“当x趋于1时，(x^2-2/3)/(x-1)趋于多少？”这里的两个式子虽然很相似，但是毕竟是不同的。一个是减去1，一个是减去2/3. 所以，已知条件和导数公式相结合不能求出这道题的答案，也就是说导数公式不适用。而已知条件和我们已知的一些定义，像您说的“定义式”，还有一些其他的已知知识，这些东西相结合，可以做出“无穷大”这一答案。所以“定义式”是适用的。我之前回答给您的内容，就是告诉您用什么办法来判断公式是否适用，或者其他一些知识是否适用。

Answer 2

当x趋于1+时：
lim(f(x)-f(1))/(x-1)
=lim(x^2-2/3)/(x-1)=无穷，故右导数是无穷。

当x趋于1-时：
lim(f(x)-f(1))/(x-1)
=lim((2/3)x^3-2/3)/(x-1)=2，故右导数是2。

追问

请问能不能直接的用导数公式去求呢？...对于1+的右导数求法是不是因为那个1不在那个定义域内才不能这么求而只能用原始的定义式?抱歉哈我有点乱，什么时候可以直接用导数公式，什么时候得用原始的定义式来求导数？

追答

一般来说：分段函数在分段点的导数要用导数的定义去求。在其他点可以用导数公式。

追问

这是为什么呢.....？嘿嘿，抱歉哈.的确不懂，帮人帮到底呗。。

Answer 3

x=1的时候，左导数为2，右导数也是2，函数在这个点是平滑的！

追问

不是的，我们给的答案不是这样的。。答案给的左导数是2，右导数无穷。为什么呢，要是左右导数相等的话那不就可导了？可前提是它在1处不连续根本就不可导啊。。。啊啊啊啊啊，我好混乱啊。。