Question

过双曲线x^2/3-y^2/6=1的右焦点F2,倾斜角为k的直线交双曲线于A,两点,O为坐标原点，F1为左焦点，求｜AB｜

Answer 1

是斜率为k吧？
双曲线的渐近线为y=±√2x
（1）-√2<k<√2时，直线与双曲线交于左右两支；F2(3,0)，则AB：y=k(x-3)

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令A在左支，B在右支；AB=AF2-BF2
由焦半径公式，AF2=a-ex1，BF2=ex2-a
所以，AB=AF2-BF2=2a-e(x1+x2)
双曲线整理得：2x²-y²=6，把y=k(x-3)代入该式得：
2x²-k²(x-3)²=6，即：(2-k²)x²+6k²x-9k²-6=0
x1+x2=6k²/(k²-2)
所以，AB=2a-e(x1+x2)=2√3-√3[6k²/(k²-2)]=4√3(k²+1)/(2-k²)
（2）k<-√2或k>√2时，直线与双曲线交于右支两点；F2(3,0)，则AB：y=k(x-3)
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB=AF2+BF2
由焦半径公式，AF2=ex1-a，BF2=ex2-a
所以，AB=AF2-BF2=e(x1+x2)-2a
双曲线整理得：2x²-y²=6，把y=k(x-3)代入该式得：
2x²-k²(x-3)²=6，即：(2-k²)x²+6k²x-9k²-6=0
x1+x2=6k²/(k²-2)
所以，AB=e(x1+x2)-2a=2√3-√3[6k²/(k²-2)]=4√3(k²+1)/(k²-2)
综上，AB=4√3(k²+1)/|k²-2| 其中k²≠2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O