Question

过正方形ABCD对角线BD上一点p,作PE垂直BC于E,作PF垂直CD于F,求证AP=EF。

Answer 1

证明：∵PE⊥BC ，PF⊥CD ，四边形ABCD是正方形 ，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90° ，
∴四边形PECF是矩形 ，
连接PC、AP ，
∴PC=EF ，
∵P是正方形ABCD对角线上一点 ，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC ，
在△PAD和△PCD中 ，
AD=CD ，
∠PDA=∠PDC ，
PD=PD ，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC ，
∴AP=EF ．

望采纳，若不懂，请追问。

Answer 2

证明：（如图）
连接PC
∵P是正方形对角线BD上的点
∴PC＝PA（正方形是轴对称图形，对称轴对角线上的点到对应点的距离相等）①
∵PE⊥BC PF⊥CD ABCD是正方形
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC＝EF（矩形的对角线相等）②
由①②
得 AP＝EF

Answer 3

：过点P做PG垂直AD于G
很明显PGDF是矩形
∠GDP=45度
DP=GD
所以
PGDF是正方形
GP=PF
同理我们可以知道
PFCE是矩形
PE=CF
又因为AD=CD,DG=DF
AD-GD=CD-DF
AG=CF
PG=PF
∠AGP=∠EPF
AG=CF
△AGP≌△EPF(SAS)
PA=EF
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