Question

求大神总结复变函数洛朗级数做法，被范围搞昏头了

Answer 1

做洛朗级数的题，首先要看函数的奇点，然后去看题目让你在什么范围内展开成关于什么的洛朗级数，如f（Z）=1/[(z-1)(z-2)]在0<|z-1|<1内展开成洛朗级数，那么z-1就不能动，就是说你展成的级数中只能是关于z-1的多项式。至于具体的展法，就要用到一些泰勒公式的展开式了，如这道题就要用到1/(1-x)=1+x+x平方+.......收敛半径是1，对于其他题，多用间接展开法，所以你要记住一些常用的公式，如sinx，cosx。。。等，还需要注意的是你在题目要求的范围内展开，就必须要求在这个范围内的函数表达式是解析的，既有相应的泰勒展开，那这道题说，先把函数分解成1/(z-2)-1/(z-1),展开式中只能有z-1这一项，那么我们可以构造成-1/[1-(z-1)]-1/(z-1),凑成形如1/(1-x)的样子，但1/(1-x)要求x的收敛半径必须是1才能展开成1+x+x平方+.......，观察题目0<|z-1|<1刚好满足这个条件，所以最终结果是

注意后面的1/(z-1)就不要动了，很多的题都是类似的做法，多用到如1/(1-x)=1+x+x平方+......的公式，希望能对楼主有帮助

Answer 2

洛朗级数分母一般都是z的加减函数。比如1/(2+z)等等。如果有平方就拆成两三个1/(b+z)的模式，拆法见楼下的例子吧。如果题目要求关于a展开的话：就这样做。

第一步：把分母的z减个a再加个a，其中a是你要展开的点。这样分母就变成了b+a+(z-a)的形式然后分母分子乘个数，分母是1-（(z-a)/（b+a））了。1-‘这坨东西’ 的级数显而易见。

如果后面那坨东西，就是(z-a)/(b+a)在题目给定的范围发散的，也就是这坨东西的模在题目给的z的范围内是大于1的，那就在第一步除以一个z-a把这坨东西化成倒数模式就好了，因为既然这坨东西大于1他的倒数就小于1,那么1-一坨小于1的东西就收敛了。
如果是cos或者sin当然例外。