Question

已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，D是BC弧上任一点，CD与AB的延长线相交于点E，BD与AC的延长线相交于点F

求证：BC是BE和CF的比例中项

Answer 1

证明：
等边△ABC
∵∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60
∴∠CBE＝180-∠ABC＝120, ∠BCF＝180-∠ACB＝120
∴∠CBE＝∠BCF＝120
∴∠BCE+∠FCE＝∠BCF＝120
∵四边形ABDC内接于圆O
∴∠BDC＝180-∠BAC＝120
∴∠F+∠FCE＝∠BDC＝120
∴∠F＝∠BCE
∴△BCE∽△CFB
∴BC/BE＝CF/BC
∴BC是BE和CF的比例中项

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Answer 2

证明：
∵等边△ABC
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°
∴∠CBE＝180°-∠ABC＝120°, ∠BCF＝180°-∠ACB＝120°
∴∠CBE＝∠BCF＝120°
∵四边形ABDC内接于圆O
∴∠BDC＝180°-∠BAC＝120°
∴∠F+∠FCE＝∠BDC＝120°
∵∠FCB=∠FCE+∠ECB=120°
∴∠F＝∠BCE
∴△BCE∽△CFB
∴BC/BE＝CF/BC
∴BC的平方=BE*CF
∴BC是BE和CF的比例中项

Answer 3

证明：
等边△ABC
∵∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60
∴∠CBE＝180-∠ABC＝120, ∠BCF＝180-∠ACB＝120
∴∠CBE＝∠BCF＝120
∴∠BCE+∠FCE＝∠BCF＝120
∵四边形ABDC内接于圆O
∴∠BDC＝180-∠BAC＝120
∴∠F+∠FCE＝∠BDC＝120
∴∠F＝∠BCE
∴△BCE∽△CFB
∴BC/BE＝CF/BC
∴BC是BE和CF的比例中项

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