Question

如图13-1,在圆O中,AB是直径,C是园O上一点,∠ABC=45°,在等腰直角三角形DCE中,点D在线段AB上

①证明B,C,E三点共线
②若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=根号2OM
③将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°）后，即为三角形D¹CE¹，若M¹是线段BE¹的中点，N¹是线段AD¹的中点，M¹N¹=根号2OM¹是否成立？若是，请证明，若不是，请说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON= BD，OM= AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN= OM；

（3）成立．理由如下：
和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N1= OM1．

Answer 2

kykm