Question

圆O中AB是直径，C是圆O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上。

（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON= BD，OM= AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN= √2OM；

（3）成立．理由如下：
和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N1= √2OM1．

Answer 2

...

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON= BD，OM= AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN= √2OM；

（3）成立．理由如下：
和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N1= √2OM1．

Answer 3

1. 1）证明：∵AB是直径，
   ∴∠BCA=90°，
   而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
   ∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
   ∴B、C、E三点共线；
   （2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，
   ∵CB=CA，CD=CE，
   ∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
   ∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
   ∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，
   又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
   ∴ON= BD，OM= AE，ON∥BD，AE∥OM；
   ∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
   ∴MN= √2OM；
   
   （3）成立．理由如下：
   和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
   从而有M1N1= √2OM1．

Answer 4

（3）成立．
理由如下：如图2，连接BD1，AE1，ON1，
∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1，
∴∠BCD1=∠ACE1，
又∵CB=CA，CD1=CE1，
∴△BCD1≌△ACE1，
与（2）同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，
从而有M1N1=2OM1．

Answer 5

自己做