Question

设F1,F2为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点,M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为

Answer 1

设F1,F2为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点,M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且∠F1MF2=60°,
设MF1=t
则 MF2=2t F1F2=根号3t=2c
MF1+MF2=2a 所以2a=3t
e=c/a=2c/2a=根号3t/3t=根号3/3
椭圆的离心率为根号3/3

Answer 2

∵MF1垂直于x轴，且∠F1MF2=60°，
∴2|MF1|=|MF2|，|MF1|:|F1F2|=tan30°，
又由椭圆的定义，|MF1|+|MF2|=3|MF1|=2a,|F1F2|=√3|MF1|=2c
∴e=c/a=√3/3

Answer 3

作ME⊥F1F2、PQ⊥F1F2则
|PQ|=R S=[|MF1|+|MF2|+|F1F2|]R/2
|MF1|+|MF2|=2a 得S=[a+c]R
S=|ME||F1F2|/2=|ME|c
由|MN|/|NP|=|ME|/|PQ|
得|MP|/|NP|=|ME|/|PQ|-1=(a+c)/c-1=a/c

追问

和我同学做的不一样

追答

非要和你同学的一样吗？数学的方法有很多种

追问

但我们老师说那是正确答案啊。

追答

这难道不是正确答案吗？好吧再给你一种作ME垂直于F1F2,PQ垂直于F1F2.

首先要知道内心和3个顶点分成的3个三角形面积之比等于底之比，因为高相同：
即----> S(MPF1)：S(MPF2)：S(PF1F2)=MF1：MF2：F1F2

于是由相似三角形和面积比可得到：

MN/PN=ME/PQ=S(MF1F2)/S(PF1F2)=[S(MPF1)+S(MPF2)+S(PF1F2)]/S(PF1F2)
=(MF1+MF2)/F1F2 +1
=(a+c)/c

于是PN/MP=c/a

Answer 4

应该是12