Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC.

1）设CD的长为x，四边形ABCD的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求出当 x=5时，系变形ABCD的面积；
2）当S=100时，求x的值.

Answer 1

过C点做CE垂直AD，又因为∠BAD=90°，则CE\\AB，
四边形的面积为：三角形ACB的面积+三角形ACD的面积
=BC*AC/2+AB*CE/2
令BC=a, 则AC=4a AB=√[AC^2+BC^2]=√17a
CE垂直AD 则∠AEC=90°，即∠AEC=∠ACB
CE\\AB 则有∠ACE=∠BAC 故有三角形ACB相似三角形CEA
AB/AC=AC/CE=BC/AE
CE=AC^2/AB=16a^2/√17a =16√17a/17 AE=AC*BC/AB=4a*a/ √17a =4√17a/17
AB=AD DE=AD-AE=√17a-4√17a/17 =13√17a/17
CD^2=CE^2+DE^2=256a^2/17+169a^2/17=425a^2/17=25a^2
CD=5a CD=x=5a a=x/5
S=a*2a+√17a *8√17a/17 =2a^2+8a^2=10a^2=10*x^2/25=2x^2/5
当x=5时，S=2*25/5=10
S=100时，x^2=250 x=5√10

Answer 2

设BC=Y,AC=4Y,AB=AD=根号17倍的Y（勾股定理），在三角形ACD中用余弦定理x^2=16Y^2+17Y^2-8根号17Y^2*cosB=25Y^2,所以x=5Y
三角形ABC的面积是2Y^2=2x^2/25,三角形ACD的面积是4Y*根号17Y*sinB*1/2=8Y^2=8x^2/25
所以s=2x^2/5
当x=5时，s=10
s=100时，x=5根号10

追问

△ACD不是直角三角形...

追答

不是啊 这个勾股定理是在三角形ACB中用的，设BC=Y,AC=4Y，可求出AB，而AD=AB，AD也就出来了，其中角CAD是和角B相等的，而角B的余弦和正弦通过刚才所设也可表示
，再在三角形ACD中用余弦定理，找出x和Y之间的关系即上面所求的x=5Y,在三角形ACD中计算面积以AC为底边计算的，高就是AD乘以角ACD的余弦，进而s也就表示出来了