Question

设函数f(x)在区间[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a),证明：在[0,a]上至少存在一点ξ，使f(ξ)=f(ξ+a).

解题的思路和入点是什么

Answer 1

解： 设函数F(x) = f(a+x)-f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续
F(a) = f（a+a）-f（a）=f(2a)-f(a) 又因为f(0)=f(2a) 所以F(a) =f(0)-f(a)
F(0) = f(a)-f(0) =-F(a)
由连续区间函数介值定理，必然存在一点ξ，使得F(X)的值为0
若使得F（x）=0，意味着f(a+x)-f(x)=0所以f(a+x)=f(x)得证。

Answer 2

设函数g(x)=f(x)-f(x+a)，于是g(0)=f(0)-f(a)=-[f(a)-f(2a)]=-g(a)，若g(0)=0，则结论成立；
若g(0)≠0，则g(0)*g(a)<0，由连续函数的介值定理可知在[0,a]上存在ξ使得g(ξ)=0 即 f(ξ)=f(ξ+a)