Question

请教函数问题！！！！

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2，x∈[-1,1]
问：关于x的方程f(x)=2a²有解，求实数a的取值范围（我算出的范围为[-17/6, -√2]U[√2, 17/6])
到底对不对？？

Answer 1

(x)=（ax+1)/(x+2)=[a(x+2)+1-2a]/(x+2)

=a+(1-2a)/(x+2)
因为f（x）在（-2，正无穷）是增函数
则1-2a<0
（x>0时，因为y=x+2单增，则y=1/x+2单减，所以分子小于0，）
所以a>1/2

Answer 2

令t=2^x, 则有1/2=<t<=2
f(x)=2a^2化为：
（t-a)^2+(1/t+a)^2=2a^2
t^2+1/t^2-2a(t-1/t)=0
(t-1/t)^2-2a(t-1/t)+2=0
再记p=t-1/t, p关于t单调增，因此-3/2=<p<=3/2
方程化为：p^2-2ap+2=0
故a=(p^2+2)/(2p)=1/2* (p+2/p)
|p+2/p|>=2√(p*2/p)=2√2, 当p=2/p即p=±√2时取等号
因此|a|>=√2,
又|p|最大为3/2, 所以|a|最大为1/2*[3/2+2/(3/2)]=17/12
故a的范围是[-17/12, -√2]U[√2, 17/12]