Question

A,B是n阶矩阵,满足AB=BA,证明秩(A+B)<=秩(A)+秩(B)-秩(AB)

Answer 1

这个比较麻烦 要借助线性空间的维数定理

证明: 记 w1,w2,w3,w4 分别为 A,B,A+B,AB 的列向量组生成的向量空间
易知 w3 包含在 w1+w2 中.
由维数公式 dimw3 <= dim(w1+w2) = dimw1+dimw2-dim(w1∩w2)
即有 r(A+B)<=r(A)+r(B)-dim(w1∩w2).
因为 AB 的列向量可由A的列向量组线性表示
AB=BA 的列向量可由B的列向量组线性表示
所以 w4 包含于 w1∩w2
所以 r(AB)=dim(w4)<=dim(w1∩w2)
所以有 r(A+B)+r(AB) <= r(A+B)+dim(w1∩w2) <= r(A)+r(B)