Question

已知过点M（0,2）的直线与抛物线y²=4x交于A，B两点，

若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时直线的方程。 求详解

Answer 1

（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由
y2=4xy=kx+2​
，得k2x2+（4k-4）x+4=0，由△=（4k-4）2-16k2＞0，得k＜
12
，由x1+x2=-
4k-4k2
=
4-4kk2
，x1x2=
4k2
，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=
8k
，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．
（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），由x0=
x1+x22
=
2-2kk2
，得y0=kx0+2=
2k
，故线段AB的中垂线方程为y-
2k
=-
1k
(x-
2-2kk2
)，由此能求出△POQ面积的取值范围．

解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y2=4xy=kx+2​
，得k2x2+（4k-4）x+4=0，
则由△=（4k-4）2-16k2=-32k+16＞0，得k＜
12
，
x1+x2=-
4k-4k2
=
4-4kk2
，x1x2=
4k2
，
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
8k
，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以∠AOB=90°，
即
OA
•
OB
=0，
所以
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=
4k2
+
8k
=0，
解得k=-
12
，
即所求直线l的方程为y=-
12
x+2．
（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），
则由（1）得x0=
x1+x22
=
2-2kk2
，y0=kx0+2=
2k
，
所以线段AB的中垂线方程为y-
2k
=-
1k
(x-
2-2kk2
)，
令y=0，得xQ=2+
2-2kk2
=
2k2
-
2k
+2=2(
1k
-
12
)2+
32
，
又由（1）知k＜
12
，且k≠0，得
1k
＜0或
1k
＞2，
所以xQ＞2(0-
12
)2+
32
=2，
所以S△POQ=
12
|PO|•|OQ|=
12
×2×|xQ| ＞2，
所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．

够详细了吧，求采纳

Answer 2

解：
直线与y轴重合时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，因此直线不与y轴重合。
设直线方程y-2=k(x-0) (k≠0)，整理，得y=kx+2，代入抛物线方程
(kx+2)²=4x，整理，得
k²x²+4(k-1)x+4=0
方程有两不相等的实根，判别式>0
16(k-1)²-16k²>0
2k-1<0
k<1/2
设点A(xa，kxa+2)，点B(xb，kxb+2)
由韦达定理得
xa+xb=-4(k-1)/k²
xa·xb=4/k²
圆以AB为直径，过原点，则直线OA⊥OB，两直线斜率互为负倒数。
[(kxa+2)/xa][(kxb+2)/xb]=-1
整理，得
2k+1=0
k=-1/2
直线方程为y=(-1/2)x +2。

Answer 3

设A(x1，y1) B(x2，y2) AB为直径，O在圆上，所以∠AOB=90度，即OA OB垂直，
所以有x1x2＋y1y2=0
设过M点的直线为y=kx＋2
代入方程，由根与系数的关系知
x1＋x2=(4－4k)/k∧2
x1x2=4/k∧2
y1y2=k∧2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
代入化简可得k=－1/2
不懂再追问吧