Question

√（x²+1)的不定积分推导过程

Answer 1

∫ √(x²+1) dx=(1/2)x√(x²+1) + (1/2)ln(√(x²+1)+x) + C。C为积分常数。

解答过程如下：

令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu

=∫ sec³u du

下面计算

∫sec³udu

=∫ secudtanu

=secutanu - ∫ tan²usecudu

=secutanu - ∫ (sec²u-1)secudu

=secutanu - ∫ sec³udu + ∫ secudu

=secutanu - ∫ sec³udu + ln|secu+tanu|

将- ∫ sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：

∫sec³udu=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C

因此原式=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C

=(1/2)x√(x²+1) + (1/2)ln(√(x²+1)+x) + C

扩展资料：

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 2

∫ √(x²+1) dx
令x=tanu，则√(x²+1)=secu，dx=sec²udu
=∫ sec³u du

下面计算
∫sec³udu
=∫ secudtanu
=secutanu - ∫ tan²usecudu
=secutanu - ∫ (sec²u-1)secudu
=secutanu - ∫ sec³udu + ∫ secudu
=secutanu - ∫ sec³udu + ln|secu+tanu|
将- ∫ sec³udu移支等式左边与左边合并后除以系数得：
∫sec³udu=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C

因此
原式=(1/2)secutanu + (1/2)ln|secu+tanu| + C
=(1/2)x√(x²+1) + (1/2)ln(√(x²+1)+x) + C

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Answer 3

用换元法来做。