Question

求不定积分(1-sinx)/(cosx)^2 dx

本人求的通过万能公式换元得到这样的积分结果-2/(tanx/2 +1) +c 貌似错了。。。郁闷的不知道错在哪里了，真心求教！
将分母变为1-(sinx)^2 平方差约去1-sinx 变成对1/1+sinx dx 积分
设tanx/2=t 则x=2arctant dx=2/(1+t^2)dt sinx=2t/(1+t^2) 用t换掉x 化简结果为∫2/1+t^2+2t dt 等于 2∫1/(t+1)^2 d(t+1)
即而结果求成 -2/(t+1) +c 将t换回tanx/2 于是就有了 以上的错误答案。。。 求解救

Answer 1

正确答案是tanx - secx + C

但正确答案也是- 2/[1 + tan(x/2)] + C

因为它们都可以互相转换的，只是你没想得这么详尽吧。

追问

哇，高手在民间啊。。方才有人这样也给我求了一下是不是等价 不过他的结果是我答案不等价 具体如下
tanx-1/cosx+c

=2tanx/2/(1-tan²x/2)-(1+tan²x/2)/(1-tan²x/2)+c
=-(tanx/2-1)²/(1-tan²x/2)+c
=(tanx/2-1)/(tanx/2+1)+c

追答

为何不继续？做到这里就停止了？
[tan(x/2) - 1]/[tan(x/2) + 1]
= {[tan(x/2) + 1] - 2}/[tan(x/2) + 1]
= 1 - 2/[1 + tan(x/2)]
= - 2/[1 + tan(x/2)] + C

追问

佩服，真厉害，看出来了您是高手，允许我膜拜您一下，谢谢赐教！

追答

不客气

Answer 2

我用WORD打了结果给你：

你的做法没错啊，只是结果不同；检验不定积分对错，只要求导即可！

追问

我就是用你的方法算出来，可是突发奇想的换个方法，算错了不说 可现在我郁闷的是找不出来我错在哪里了

追答

你的结果，求导，即是原被积聚函数！
我前面给的结果，中间应为减号，就是secx 前面是减号！

Answer 3

分布积分啊，原式=1-sinx dtanx=（1-sinx）tanx-+积分tanxcoxdx=（1-sinx）tanx-cosx+c

追问

正确的我会算， 知道我算错了 但是这个郁闷的不知道错哪里了 能按我的方法看看吗？ 我都无语了