Question

求使下列函数取的最大值，最小值的自变量X的集合，并分别写出最大值和最小值是什么？

（1）y=1-1/2 cosπ/3 x, x属于R. (2)y=3sin(2x+π/4),x属于R (3)y=-3/2cos(1/2x-π/6),x属于[2π/3,π] (4)y=1/2sin(1/2x+π/3),x属于[-π/3,4π/3]
求急啊，麻烦拉

Answer 1

1、已知y=cosx，当x=2kπ时取得最大值1， 当x=2kπ+π时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=1-1/2 cosπx/3，当x=2kπ/(π/3)=6k时取得最小值1-1/2×1=1/2，
当x=(2kπ+π)/(π/3)=6k+3时取得最大值1-1/2×(-1)=3/2

2、已知y=sinx，当x=2kπ+π/2时取得最大值1， 当x=2kπ+3π/2时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=3sin(2x+π/4)，当x=(2kπ+π/2-π/4)/2=kπ+π/8时取得最大值3×1=3，
当x=(2kπ+3π/2-π/4)/2=kπ+5π/8时取得最小值3×(-1)=-3

3、已知y=cosx，当x=2kπ时取得最大值1， 当x=2kπ+π时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=-3/2cos(1/2x-π/6),，当x=(2kπ+π/6)/(1/2)=4kπ+π/3时取得最大值，
当x=(2kπ+π+π/6)/(1/2)=4kπ+7π/3时取得最小值，
可知当k=0时，在[π/3,7π/3]的区间中此函数是单调增的，而区间[π/3,7π/3]包含[2π/3,π]，所以函数在区间[2π/3,π]中也是单调递增的，
所以当x=2π/3时，y=-3√3/4为此区间内最小值，当x=π时，y=-3/4为此区间内最大值

4、已知y=sinx，当x=2kπ+π/2时取得最大值1， 当x=2kπ+3π/2时取得最小值-1（k为整数）
所以可得函数y=1/2sin(1/2x+π/3)，当x=(2kπ+π/2-π/3)/(1/2)=4kπ+π/3时取得最大值，
当x=(2kπ+3π/2-π/3)/(1/2)=4kπ+7π/3时取得最小值，
当k=0时，x=π/3时在[-π/3,4π/3]范围内取得最大值y=1/2
正因为x=π/3时取得此范围内最大值，可知此时它的两侧均为单调递减，
需要分别计算x=-π/3和x=4π/3时y的值，比较后来判断此范围内函数的最小值。
当x=-π/3，y=1/4，当x=4π/3时，y=0，因为0<1/4，
所以当x=-π/3时，函数取得[-π/3,4π/3]范围内的最小值y=0

Answer 2

你的X在哪个位置，上边表达的不是很准确，先和你说说方法：
一般这种情况是把正弦或者余弦函数都基本形式的性质熟悉，特别是最值和对称的特性。
以上的四题中都是在可用同一个方法：把sin或者cos里边的一串都用一个字母t来表示，那只要确定了t的取值范围，那就可以根据sin或者cos的性质，很容易知道sin t 或者cos t的范围（如果还不知道说明对sin或者cos的基本性质都不熟悉，那就先自习一下正余弦的更基本的知识了）。最后X的集合又可以根据t的范围反推出符合原题的X的范围或者集合。
拿第（4）题说，t=(1/2x+π/3), 那y=1/2sin t ；
由于x属于[-π/3,4π/3]，所以t就属于[π/6,π] ，
所以有y=1/2sin t ，t 属于[π/6,π] ，
从sin t 的单调性　　
在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.
在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.
可看出，t 在范围[π/6,π/2] 是sin t单调递增，t 在范围[π/2,π] 是sin t单调递减。
分别算出：递增区间，最大值sint=sin（π/2）=1, 最小值sint=sin（π/6）=1/2
递减区间，最大值sint=sin（π/2）=1, 最小值sint=sin π=0
由t=1/2x+π/3得出，当t＝π/2即x=π/3时，sint有最大值，可得y=1/2sin t最大值1
当t=π 即x=4π/3时，sin t有最小值0，可得y=1/2sin t最小值0

以上是第（4）题的过程，结果不一定是正确，方法可参考。
另外前两题需要注意的，求x的集合时，记得把
在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.
在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.
里的K考虑到，要不求t的集合推出x的集合时，就不全面。
以上部分内容过于啰嗦，可忽略不看，只是考虑到以防某些知识点不足，所以提到的，考试中不会写这么多。