Question

已知椭圆x的平方/a的平方+y的平方/b的平方＝1的离心率等于根号3/2，A（a，0 ）B（0，-b

的直线到原点的距离是4/5根号5。求椭圆方程和已知直线y＝kx+1（k≠1）交椭圆于不同的两点E，F且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值

Answer 1

（1）由截距式易知直线AB：x/a-y/b=1，即bx-ay-ab=0
则点到直线距离公式有：4√5/5=|ab|/√(a^2+b^2)=ab/√(a^2+b^2)（注意到a、b>0）（I）
又由离心率公式知：c/a=√3/2（II）
而由椭圆参数关系有：a^2=b^2+c^2（III）
由（I）（II）（III）可得：a=4，b=2，c=2√3
于是椭圆方程为x^2/16+y^2/4=1

（2）由（1）易知B(0,-2)
因E、F在以B为圆心的圆上，则BE=BF
显然当k=0时，直线y=1与椭圆交于对称的两点E、F，此时BE=BF

当k≠0时（k≠1），令E(x1,y1)，F(x2,y2)，显然y1≠y2
则由两点间距离公式有x1^2+(y1+2)^2=x2^2+(y2+2)^2
即(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y2-y1)+4(y2-y1)（IV）
而由斜率公式有k=(y2-y1)/(x2-x1)（V）
于是由（IV）（V）可得到(x1+x2)+(y1+y2)k+4k=0（*）
将直线y=kx+1代入椭圆方程有(1+4k^2)x^2+8kx-12=0
由韦达定理有
x1+x2=-8k/(1+4k^2)（VI）
而因E、F在直线上，则有
y1=kx1+1
y2=kx2+1
两式相加并结合（VI）得
y1+y1=k(x1+x2)+2=2/(1+4k^2)（VII）
将（VI）（VII）代入（*）得k=±√2/4

综上知满足条件的k=-√2/4，0或√2/4