Question

高二数学 已知圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)在x轴上方交于A,B两点

已知圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)在x轴上方交于A,B两点,1.求实数p的取值范围; 2.若∠ACB=90°求实数p的值
第1小题书上答案是0<p<1,可是我算出来还有p>5求解释

Answer 1

你的错因在于使用Δ的时候忽略了x的范围
抛物线与圆有交点 本身限制了x应该使(x-3)²+y²=5 y²=2px(p>0)都有意义
具体地说就是 对于 (x-3)²+y²=5 你必须保证 (x-3)²＜5（y才有解）
对于y²=2px(p>0) 又必须保证x＞0

所以x²+(2p-6)x+4=0这个方程的两个实根都应该在上述x的范围内
制约条件就不仅仅是Δ＞0（后面的不用再说了吧）
（这是联立二次方程最容易出错的地方）

至于第二问设出A B点的坐标 A（x1,y1）B(x2,y2)
∠ACB=90°转化为 向量AC垂直于向量BC也就是(x1-3)(x2-3)+y1y2=0
A B又都在抛物线上(y1)^2=2px1 (y2)^2=2px2
x²+(2p-6)x+4=0 使用韦达定理就可以得到一个只含有p的式子 得解

追问

明白是明白了,那在Δ＞0后,再加一个什么制约条件,才能舍去p>5

追答

x的定义域即(x-3)²＜5且 x＞0的解： x∈（3-√5,3+√5）
x²+(2p-6)x+4=0在（3-√5,3+√5）上有两解 令f(x)=x²+(2p-6)x+4

┌ 3-√5＜-(2p-6)/2[也就是对称轴]＜3+√5

┤ f(3-√5)＞0

└ f(3+√5)＞0

回来的有些迟 别介意哈~

Answer 2

解：
1、圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)相交，得：
x²-6x+9+2px=5
即x²-(6-2p)x+4=0
圆与抛物线在x轴上方交于A,B两点
那么方程有两个不等的正根
Δ=（6-2p)²-16＞0
∴6-2p＞4
即，p＜1
∵p＞0
则，0＜p＜1
2、∠ACB=90°时，AB∥x轴
设点A为靠近y轴的点，过A作AM⊥x轴于M，则，AM=CM
∴2AM²=5
AM=√10/2
则，OM=3-√10/2
∴点A（3-√10/2，√10/2）
则有，（√10/2）²=2p（3-√10/2）
5/2=p（6-√10）
p=5/2÷（6-√10）
p≈0.88

追问

Δ=（6-2p)²-16＞0∴6-2p＞4不对吧,应该是6-2p＞±4我是化出来解的4p²-24p+20>0 ,p²-6p+5>0,(p-5)(p-1)>0解得05

追答

当p＞5时舍去，与圆C就没有交点了。

追问

这是Δ>0时解出来肯定还需要一个制约条件,才能舍去p>5

追答

实际可以解出点AB的坐标值，用含有p的代数式表示，在求与圆心的距离，得出含有p的方程，结果一样，不过有点麻烦，你试试吧

Answer 3

圆C:(x-3)²+y²=5与抛物线y²=2px(p>0)
联立方程组，消去y得
x²-6x+9+2px=5
即x²-(6-2p)x+4=0（#）(x≥0)
圆与抛物线在x轴上方交于A,B两点
那么方程（#）有两个不等的正根
∴{Δ=（6-2p)²-16=4p²-24p+20>0
{6-2p>0
｛p>0
解得0<p<1

Answer 4

因为y²=2px
则显然x>0

(x-3)²+2px=5
x²+(2p-6)x+4=0
若p>5
2p-6>0
即x1+x2=-(2p-6)<0
不符合x>0

Answer 5

能把你的计算过程也发上来么