Question

已知函数f(x)=x²-8lnx，g(x)=-x²＋14x

①求函数f(x)在点(1，f(x))处的切线方程
②若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围
【详细过程】

Answer 1

1.
f'(x)=2x-8/x
f'(1)=2-8=-6
f(1)=1-8ln1=1
在点(1,f(1))处的切线方程：y=-6(x-1)+1=-6x+7
2.
f(x),g(x)在(a,a+1)为增
g'(x)=-2x+14
g'(x)=0 解得 x=7 x<7 g'(x)>0
g(x)在(-∞,7)为增函数
f'(x)=0 解得 x=±2(x≠0) x>2 or x<-2 f'(x)>0
f(x)在(-∞,-2)∪(2,+∞)为增函数
f(x),g(x)在(2,7)都是增函数 则
a>2 or a+1<7
解得
2<a<6

Answer 2

①f(1)=1
f'(x)=2x-8/x
f'(1)=-6
切线方程是y-1=-6(x-1),即y=7-6x
②g(x)=-(x-7)^2+49在（-∞，7]上单调递增
f'(x)=2x-8/x>0得x>2或-2<x<0,此时f(x)单调递增
因此在（2,7]和（-2,0）中函数f(x)与g(x)均为增函数
由a>=2和a+1<=7得2<=a<=6
由a>=-2和a+1<=0得-2<=a<=-1
因此a的取值范围 是2<=a<=6和-2<=a<=-1

Answer 3

第一道
g（1）=13
所以切点是（1，13）
g'（x）=-2x+1
g'（1）=12

得 切线方程：y=12x+1