Question

如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D',图中阴影部分的面积为

Answer 1

如图, 可以把阴影部分的中间连个辅助线, 一分为二

可以看到这是两个≌的三角形

于是阴影部分的面积=1/2ab×2=ab=a(∵b=1)

∵旋转角度为30°, 且辅助线中分阴影的那个角

∴阴影部分的角度θ=30°

于是根据三角函数关系tgθ=a/b可得. a=tg30°=√3/3

∴阴影部分的面积为S=√3/3

追问

　　三角函数我们还没学过，能用别的方法来解释吗

追答

那就用勾股定理吧
30°角对应的直角边是斜边长度的一半
这样斜边的长度(图中白线)就是2a
于是根据勾股定理
(2a) ²-a ²=b ²=1
于是3a ²=1
a=√3/3或者-√3/3(舍去)
这样阴影部分的面积为S=√3/3

追问

不是1-√3/3吗

追答

是1-√3/3
我刚才才看到你上传的图, 呵呵
不过解法是一样的

追问

3a ²不是等于√1/3吗

追答

不对, 3a²=1

Answer 2

∵AD=AB'

解：做辅助线AE，交E点。BAB'=30°∴∠DAB'=60°

      得△ADE和△EDB'，

∵AE=AE 、 AD=AB'  、 ∠EDA=∠EB'A

∴△ADE≡△EDB'

∵BAB'=30°

∴∠DAB'=60°

∴∠EAD=∠EAB'=1/2∠DAB'=30°

∴∠DEA=180°-∠ADE-∠DAE=180°-90°-30°=60°

根据含有60°（或30°）角的直角三角形边长比=1：√3：2

已知DA=1.；∴ED=1/√3

∴S△EDA=1/2ED*DA=1/√3*2=√3/3*2=√3/6

∴阴影部分的面积=正方形ABCD面积-(ADE+△EDB')=1-(√3/6+√36)=1-√3/3

答：阴影部分的面积为1-√3/3。

Answer 3

如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为
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