Question

正方形ABCD中，E在AD上，F在CD上，∠EBF＝45°,求证EF＝AE+CF。

利用平移，旋转，轴反射的变换构造三角形全等

Answer 1

呵呵，如图，

延长DA到M使得AM=CF，连接BM。则有三角形FCB全等于三角形MAB，因此角FBC等于角MBA且FB=MB，再有BE=BE，那么三角形EBM全等于三角形EBF，由此可得：

      ME=FE

即    MA+AE=EF

即    EF=AE+CF。

Answer 2

延长EA至点G，使AG=FC，连结BG，用AG=FC，角BAG=角BCF=90度，BA=BC（SAS）证三角形BAG与三角形BCF全等，得角CBF=角ABG，BF=BG，因为角EBF=45度，所以角CBF+角ABE=45度，所以角ABG+角ABE=45度，即角GBE=45度，用BG=BF，角GBE=角FBE=45度，BE=BE（SAS）证三角形GBE与三角形FBE全等，所以EF=EG=EA+AG=EA+CF。

Answer 3

把三角形BCF以B点逆时针旋转90度，C与A重合，F点转到F'点
再证明三角形ABF'全等三角形BEF就行了。