Question

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M。
连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB面积相等，若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M，连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB面积相等，若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由。
解析：∵抛物线f(x)=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点
∴c=3，f(-1)=a-b+3=0，f(3)=9a+3b+3=0
二式联立解得a=-1,b=2
∴f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4==>P(1,4)
∵直线BC: y=-x+3
∴M(1,2)
设在第一象限的抛物线上存在一点R(x,y)，使S(⊿CRP)= S(⊿MBR)
S(⊿CRP)=1/2(x-y+3)=S(⊿MBR)=1/2(2x+2y-6)
x+3y-9=0 （1）
y=-x^2+2x+3 （2）
(2)代入(1)得-3x^2+7x=0==>x1=7/3，x2=0(舍)
∴R(7/3,20/9)

这里提供一个已知三角形三顶点坐标，计算面积的公式：
| 1 1 1 |
S=1/2|x1 x2 x3|
|y1 y2 y3|
注意三个顶点为一定要逆时针顺序排列

追问

面积公式看不懂

追答

三阶行列式不会吗？你上高几？

Answer 2

1）因为抛物线过（-1，0）、（3，0），因此设解析式为 y=a(x+1)(x-3) ，
将 x=0 ，y=3 代入可得 3= -3a ，解得 a= -1 ，
因此抛物线解析式为 y= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 。
（2）因为抛物线对称轴为 x=1 ，所以 D 坐标为（2，3），
由于 CD//AB ，且 CD=2 ，AB=4 ，高 h=3 ，所以 SABDC=(2+4)*3/2=9 。
（3）容易求得 E（1，2）。设 F（0，b），由于 ∠ABC=∠ECF=45°，
所以，当 BA/BC=CE/CF 或 BA/BC=CF/CE 时，两个三角形相似，
则 4/(3√2)=√2/CF 或 4/(3√2)=CF/√2 ，
解得 CF=3/2 或 4/3 ，
因此由 3-b=3/2 或 3-b=4/3 得 b=3/2 或 b=5/3 ，
即 F 坐标为（0，3/2）或（0，5/3）。

Answer 3

解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0）．

（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），
∴

a+b+3=09a+3b+3=0
解，得

a=1b=-4
∴y=x2-4x+3．

（3）连接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

2
．

由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

2
．

假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当

BQ
BC
=

PB
AB
，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．即

BQ
32
=

2
2
，

∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0）．
②当

QB
AB
=

PB
BC
，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．即

QB
2
=

2
32
，∴QB=

2
3
．

∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-

2
3
=

7
3
，∴Q2的坐标是（

7
3
，0）．

∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（

7
3
，0），

能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 4

易求得抛物线方程为y=－(x－1)∧2＋4
设R(x0，y0)R到CP距离为(x0－y0＋3)/√2，到BM距离为(x0＋y0－3)/√2 由于面积相等，所以(x0－y0＋3)/√2×√2=(x0＋y0－3)/√2 ×2√2，解得x0＋3y0=9 又有R在抛物线上，代入得x=0或7/3，所以R(7/3，20/9)