Question

求解差分方程组xn=2x(n-1)+y(n-1),yn=x(n-1)+4y(n-1),x1=1 y1=2

Answer 1

由1）得：y(n-1)=xn-2x(n-1)
代入2）得：x(n+1)-2x(n)=x(n-1)+4xn-8x(n-1)
即 x(n+1)-6x(n)+7x(n-1)=0
特征方程为λ^2-6λ+7=0, 解得：λ=3+√2, 3-√2
所以x(n)=c1*(3+√2)^n+c2(3-√2)^n
代入x(1)=c1(3+√2)+c2(3-√2)=1
y(n)=x(n+1)-2x(n)
y(1)=x(2)-2x1=c1(11+6√2)+c2(11-6√2)-2=2, 得：c1(11+6√2)+c2(11-6√2)=4
联立解得：
c1=(4+√2)/28
c2=(4-√2)/28
因此有x(n)=(4+√2)/28* (3+√2)^n+(4-√2)/28*(3-√2)^n
代入得：y(n)=x(n+1)-2x(n)