Question

已知p、q为正整数，且是关于x的方程x²-(p²+11)x/9+15(p+q)/4+16=0的两个根，求p、q的值。

Answer 1

解：由韦达定理得，p+q=(p²+11)/9　　　　（1）
pq=15(p+q)/4+16=5(p²+11)/12+16 （2）
由于p和q都是正整数，可看出p²+11既能被9整除，也能被12整除，所以应被36整除。
由（1）得，(p²+11)/9>p
p²+11>9p
由（2）得， pq> 5(p²+11)/12
12pq> 5(p²+11) >5*9p=45p
12pq>45p
q>45/12
即q可能最小值为4
则易知最小取值p=5时，p²+11=36,满足条件，此时，q=-4<0，不符合条件。
则易知p=13时，p²+11=180，满足条件，此时，q=7，符合条件。
则p=13,.q=7这是方程的两个根。
只能做到这里了，不能证明更大的数是否符合条件。也就是不能证明解是否唯一。