Question

在⊿ABC中,内角A.B.C对边的边长分别是a,b,c 且满足a^2+b^2=ab+4,C=π/3,A≠π/2时，若sinc＋sinB－A＝2

在⊿ABC中,内角A.B.C对边的边长分别是a,b,c 且满足a^2+b^2=ab+4,C=π/3,A≠π/2时，若sinc＋sin﹙B－A﹚＝2Sin2A,求⊿ABC的面积

Answer 1

解答：
利用余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC
∴ c²=a²+b²-2abcos(π/3)
∴ c²=a²+b²-ab=4
∴ c=2
∵ sinC+sin(B-A)=2sin2A,
∴ sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA
∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=4sinAcosA
即 2sinBcosA=4sinAcosA
∵A≠π/2
∴ cosA≠0
∴ sinB=2sinA
利用正弦定理a/sinA=b/sinB
∴ b=2a
将其代入a²+b²=ab+4
∴ 5a²=2a²+4
∴ a²=4/3
∴ ⊿ABC的面积S=(1/2)absinC=a²*sinC
∴ S=(4/3)*(√3/2)=2√3/3