Question

当b为已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,直线l:y=x+b,(1）当b=1时，求直线l被圆C所截得的弦长AB的值

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,直线l:y=x+b,(1）当b=1时，求直线l被圆C所截得的弦长AB的值（2）当b为何值时，以弦AB为直径的圆经过坐标原点O

Answer 1

（1）b=1,y=x+1代入圆中有：x^2+x^2+2x+1-2x+4x+4-4=0

2x^2+4x+1=0
x1+x2=-2,x1x2=1/2
|x1-x2|=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号(4-2)=根号2
|AB|=根号（1+K^2)*|x1-x2|=根号（1+1）*根号2=2
（2）y=x+b代入到圆中有：x^2+x^2+2bx+b^2-2x+4x+4b-4=0
2x^2+(2b+2)x+b^2+4b-4=0...........(1)
x1+x2=-(b+1),x1x2=(b^2+4b-4)/2
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b^2=(b^2+4b-4)/2-b(b+1)+b^2=(b^2+4b-4-2b)/2=(b^2+2b-4)/2
以AB为直径的圆过原点，则有x1x2+y1y2=0
(b^2+4b-4)/2+(b^2+2b-4)/2=0
b^2+3b-4=0
(b+4)(b-1)=0
b=-4或1。
b=-4时代入到(1):2x^2-6x-4=0,成立
故b=-4或1

Answer 2

利用圆心到直线的距离公式h，弦长s=2sqr（r2-h2）