Question

求四次函数的最值

求f(x)=1/4*x^4-7/3*x^3+2*x^2+8x的最小值，及当取得最小值时x的值
请给出根式解！

Answer 1

定系数法又称为笛卡尔法

先将一元四次方程化为x4+ax3+bx2+cx+d=0的形式。

令x=y-a/4 整理后得到y4+py2+qy+r=0 （1）

设y4+py2+qy+r=(y2+ky+t)(y2-ky+m)=y4+(t+m-k2)y2+k(m-t)y+tm

比较dy对应项系数，得t+m-k2=p，k(m-t)=q，tm=r

设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k3+pk-q)/(2k)，m=(k3+pk+q)/(2k)

再代入第三个方程，得[(k3+pk)2-q2]/(4k2)=r 。即k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2=0

解这个方程，设k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0时t和m的值那么方程（1）就成为

（y2+k0y+t0)(y2-k0y+m0)=0

解方程y2+k0y+t0=0和y2-k0y+m0=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-a/4就可以得出原方程的四个根。

扩展资料：

一元四次方程与四次函数的关系

在数学中，一元四次方程是令四次函数等于零的结果，这是因为：

假定y=ax4+bx3+cx2+dx+e为目标函数

令y=0

则ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 （1）

（1）正好是一个一元四次方程。

代数基本定理告诉我们，一个一元四次方程总有四个解（根）。它们可能是复数，也可能存在两个以上的根相等的情况。.

Answer 2

导数求得为dy/dx=x^3-7x^2+4x+8

令其等于0，可解得看下图

至于解3次方程，虽然确实可以解，但真的号麻烦，我用的是软件Mathematica，这个比较简单，望采纳，对了5次及高于5次以上的方程没有普遍的解析式解

追问

可是为什么会出现余弦与反余弦，什么原因导致的？

追答

原因是在解3次方程的时候，很容易出现虚数的，有欧拉公式e^（ix）=cosx+isinx，具体我不知道计算机是怎样算的，我曾经按照一元三次方程的卡丹公式算过几道三次方程，其中出现的复数，我就用欧拉公式然后，最终化简结果可能把虚数消掉，像上面的例子，也可能消不掉，最终结果是复数
算起来超级麻烦
上面反三角函数的自变量是大于1的，在实数范围内是无意义的，但在复数范围内可以计算
具体这种类型的反三角函数我目前只在光学中反射，相位差的表达式中见过

Answer 3

先求导，令导数等于0，求出x的值，判断单调性，将x代入原函数

Answer 4

对于这种问题就是先求导!