Question

若实数a,b满足|a-b|＞=1，则a^2+b^2=？ 答案：最小值1／2。求过程

Answer 1

解：
|a-b|＞=1
（a-b）²＞=1
a²+b²-2ab＞=1
a²+b²＞=1+2ab
当且仅当|a-b|=1，|a|=|b|时，题目所求取最值，即
a=-b=1/2或-1/2时，得最小值。代入，有
a²+b²＞=1+2ab
a²+b²＞=1+2x（-1/2）x1/2=1/2

追问

当且仅当后面没看懂。。这是一道高中数学题，你能不能试着用下线性规划来做做？谢谢(^O^)

追答

那就用图解法，用图解法比较快速和简单。
解：
|a-b|＞=1可化简为
｛a-b＞=1
｛a-b<=-1
以b为y轴，a为x轴，作图为两条平行线取向外的部分（这里我不便操作作图）
a²+b²表示到坐标原点的距离的平方，由图可知，最短距离为坐标原点到直线
a-b=1或a-b=-1的距离，从而可求得a²+b²=1/2 最大距离为无穷大。
所以
a²+b²＞=1/2
不理解可以追问。
看懂了吗？需不需要我作图传给啊？

追问

懂了！十分感谢！(^ ^)

追答

别客气！

Answer 2

由a^2+b^2>=1/2(a+b)^2，将b用-b替换，有a^2+（-b）^2>=1/2(a-b)^2，得到答案，最小值在
|a|=|b|=1/2,且a,b异号时取得。