Question

考研数学题

证明An=1+1／2+1／3+••••••1／n-ln（n）证明An收敛，总感觉网上答案不对，这是2011年真题第18题。

Answer 1

　由于ln（1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）
　　于是调和级数的前n项部分和满足
　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln（1+1）+ln（1+1/2）+ln（1+1/3）+…+ln（1+1/n)
　　=ln2+ln（3/2）+ln（4/3）+…+ln[(n+1）/n]
　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1）/n]=ln(n+1）
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1）（n→∞）=+∞
　　所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
　　但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln（1+1）+ln（1+1/2）+ln（1+1/3）+…+ln（1+1/n)-ln(n)
　　=ln(n+1）-ln(n)=ln（1+1/n)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln（1+1/n)（n→∞）=0
　　因此Sn有下界
　　而
　　Sn-S(n+1）=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1）-ln(n+1）]
　　=ln(n+1）-ln(n)-1/(n+1）=ln（1+1/n)-1/(n+1）
　　将ln（1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故
　　ln（1+1/n)-1/(n+1）>1/n-1/（2n^2）-1/(n+1）=1/(n^2+n)-1/（2n^2）>0
　　即ln（1+1/n)-1/(n+1）>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
　　S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

提供一个参考

Answer 2

你好，
如果你是考研人，一定有二李全书吧，别告诉我你不知道二李全书哦....
这道题首先的主路线是：单调有界不必收敛
证明单调时，利用全书上的一个方法（大概在全书第十几页，求极限的方法之九），
递归数列的单调性与函数的单调性有关，先证函数单调，再证数列单调。
最后证明有界性。

Answer 3

好难啊，呵呵，都忘干净了。

Answer 4

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