Question

高数证明:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

经书上没给出证明，大神给个证明的链接什么的也行

Answer 1

都用到了聚点原理：闭区间[a,b]上的无穷数列{xn}一定有聚点,i.e.存在{xn}的子列{xk}及某个点y∈[a,b] s.t.
lim x(k) = y

证明：如果f(x)在[a,b]上无界，则存在序列{xn} s.t.
|f(xn)| -> 无穷。
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y。
由连续性f(xk)->f(y)。
但是{xk}是{xn}的子列，所以|f(xk)| ->无穷。矛盾。

下证能取到最小值。设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义，存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y，利用连续性得到f(y) = m。
同理可证最大值

追问

谢谢，要看数学分析吗？聚点原理，第一次听到这概念

追答

聚点原理表述的是实数完备性，和实数中的确界定理、闭区间套、单调数列有极限、Cauchy列有极限、有限覆盖定理等价。如果真想弄懂，可能要参考数学分析教材。