Question

已知：如图，平面直角坐标系xOy中

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则 ，解得
∴直线AB的解析式为y=x－4
（2）作MN⊥y轴于点N）

∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°
∴∠OPA+∠NPM=90°
∵∠NMP+NPM=90°
∴∠OPA=∠NMP
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM。（AAS）
∴OP=NM，OA=NP
∵PB=m（m>0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（m+4，－m－8）
（3）答：点Q的坐标不变．
解法一：由（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4．
∴NB=NM
∵∠BNM=90°
∴∠MBN=45°
∴∠QBO=45°，∠OQB=90°－∠QBO=45°
∴OQ=OB=4
∵点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，
∴点Q在x轴的负半轴上
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（－4，0）