Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是定义在R上的偶函数，且当x属于【1，2】时，该函数的值域为【-2，1】

求f(X)的解析式

Answer 1

偶函数 有 a=c=0
f(x)=bxx+d x=0时区最小或者最大值
f(1)=b+d=-2 或1
f(2)=4b+d=1或-2
b=1或-1,d=-3或者

追问

或者什么 为什么是偶函数所以 a=c=0啊~

Answer 2

解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d
∴ax3+cx=0恒成立，
故f（x）=bx2+d．（4分）
当b=0时，由函数f（x）的值域不是常数知不合题意；（5分）
当b＞0，x∈[1，2]时f（x）单调递增，又f（x）值域为[-2，1]，
所以
f(1)=-2f(2)=1
⇒
b+d=-24b+d=1
⇒
b=1d=-3
．（9分）当b＜0，同理可得
f(1)=1f(2)=-2
⇒
b+d=14b+d=-2
⇒
b=-1d=2
，（12分）
所以f（x）=x2-3或f（x）=-x2+2．（13分）