Question

已知F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点,A是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为1/2,点B在x轴上,AB⊥AF

已知F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点,A是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为1/2,点B在x轴上,AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+y·根号3+3=0相切。
1、求椭圆方程

Answer 1

∵BA⊥AF,
∴△AFB是RT△,
OA=b,(短半轴)
FO=c,(半焦距)
FA=a,(长半轴),
离心率e=c/a=FO/FA=1/2,
∴cos<AFO=FO/FA=1/2,
∴<AFO=60°,
∴<CBA=90°-60°=30°,
△ABC外接圆中心在BC的中点M,
直线x+√3y+3=0转化为:
y=-√3x/3-√3,
在第4象限,N是直线y=-√3x/3-√3和圆的切点,连结MN,
在RT△AFB中,FA=a,AB= √3a,FB=2a,
MN=AM=FB/2=a,
∵<AFM=60°,AM=FM,
∴△AFM是正△,
∵OA⊥FM,
∴FO=OM,
∴M是右焦点,M(c,0)
|MN|=|c+0+3|/√(1+3)=(c+3)/2,
FB=2MN=c+3,
FB=2a=4c=c+3,
∴c=1,
a=2c=2,
b^2=a^2-c^2=3,
∴椭圆方程为:x^2/4+y^2/3=1.

Answer 2

我分析了一下，B应该是下顶点。F是左焦点。下面开始讲
BF斜率=—根号3.所以KBC=三分之根号3.
又因为B点坐标（0，﹣b）。所以可得BC方程。
再根据BC方程与X轴焦点可得C点坐标为（根号3b.0）。也就是（3c.0）
又因为F（-C.0）。B（—根号3c，0）
所以很容易看出圆M的圆心为（C.0）半径为2c。
然后L1与圆相切，所以圆心到L1距离等于半径。
带点到直线距离公式化简得：C=1.
所以a=2.、b=根号3.椭圆方程4分之x2+3分之y2=1
向量MP乘向量MQ=—2、MP.MQ是圆M的半径，所以MP=MQ=2.
cos角PMQ=-二分之一。所以∠PMQ=120度
所以M到直线L2距离为Rsin30°=1。
设L2斜率为k。则y=kx+2k。带入点到直线距离公式
可得k平方等于八分之一
所以k=+-2倍根号2分之一。