Question

求由y=2x-x^2与y=0所围成图形绕y轴所得旋转体体积 谢谢了

Answer 1

由y=2x-x^2与y=0所围成图形绕y轴所得旋转体体积为8π/3。

解：因为由y=2x-x^2，可得，

x=1±√(1-y)。

又由于平面图形是由=2x-x^2与y=0所围成，那么可得0≤x≤2，0≤y≤1。

那么根据定积分求旋转体体积公式，以y为积分变量，可得体积V为，

V=∫(0,1)(π*(1+√(1-y))^2-π*(1-√(1-y))^2)dy

=4π∫(0,1)√(1-y)dy

=-4π∫(0,1)√(1-y)d(1-y)

=-4π*(2/3*(1-y)^(3/2))(0,1)

=-8π/3*(1-y)^(3/2)(0,1)

=-8π/3*(1-1)^(3/2)-(-8π/3*(1-0)^(3/2))

=8π/3

扩展资料：

1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质

（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。

（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。

2、利用定积分求旋转体的体积

（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数。

（2）分清端点。

（3）确定几何体的构造。

（4）利用定积分进行体积计算。

3、定积分的应用

（1）解决求曲边图形的面积问题

（2）求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

（3）求变力做功

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

y = 2x - x² = 1 - (x - 1)²
此为开口向下，顶点为(1, 1)的抛物线; 所需考虑的是其与轴间的部分。
图形绕y轴旋转, 以y为自变量更方便.
在y处(0 < y < 1)，x值有两个:
y = 1 - (x - 1)²
x = 1±√(1 - y)
旋转体在y处的截面为圆环，内外径分别为r =1-√(1 - y), R = 1+√(1 - y)
截面积 = πR² - πr² = π[1 +√(1 - y)]² - π[1 - √(1 - y)]²
= 4π√(1 - y)
V = ∫¹₀4π√(1 - y)dy
= (-8π/3)(1-y)³/² |¹₀
= 0 + 8π/3
= 8π/3