Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD= 3 ，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3
，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；
（2）若AE=t，射线EF与线段BC有交点时，t的取值范围是？

．

Answer 1

解：（1）过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG=3，
∴EG=AD=3，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=GF3，
解得GF=3，
∴DF=6；

（2）
过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MC=3，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BHtan60°=33=1，BC=BHsin60°=332=2，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=(
3)2+x2=3+x2，
在Rt△EFM中，EF=(EB+BM)2+MF2=(6-x+1)2+(
3)2=(7-x)2+3，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴DFEF=EFBE，
∴EF2=DF•BE，即（7-x）2+3=7（6-x）
解得x=2或5
故答案为：2或5．

Answer 2

解：（1）过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG=3，
∴EG=AD=3，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=GF3，
解得GF=3，
∴DF=6；
（2）
过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MC=3，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BHtan60°=33=1，BC=BHsin60°=332=2，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=(
3)2+x2=3+x2，
在Rt△EFM中，EF=(EB+BM)2+MF2=(6-x+1)2+(
3)2=(7-x)2+3，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴DFEF=EFBE，
∴EF2=DF•BE，即（7-x）2+3=7（6-x）
解得x=2或5
故答案为：2或5．
前面是复制楼主的
我帮他补充一下
当t=2、5时
EF过C点
t=1、6时
EF过B点
∴1≤t≤2或5≤t≤6

Answer 3

当E是中点∠ADE=∠AED=45度剩余的作高