Question

已知函数f(x)=x^2-x+a+1

(1)若fx>=0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。
（2）求F（x）在区间（-无穷，a】上的最小值g（a）的表达式

Answer 1

解1：
f(x)=x^2-x+a+1
f(x)=x^2-2×(1/2)x+(1/2)^2-(1/2)^2+a+1
f(x)=(x-1/2)^2+3/4+a
依题意和已知，有：
(x-1/2)^2+3/4+a≥0
由于(x-1/2)^2≥0，
因此，只需3/4+a≥0即可。
由此得：a≥-3/4
即：所求取值范围是：a∈[3/4，∞)

解2：
f(x)=x^2-x+a+1
f'(x)=2x-1
令：f'(x)＞0，即：2x-1＞0
解得：x＞1/2
令：f(x)＜0，即：2x-1＜0
解得：x＜1/2
即：当x∈(1/2，∞)时，f(x)是单调增函数；当x∈(-∞，1/2)时，f(x)是单调减函数。
故：在x∈(-∞，∞)下，当x=1/2时，f(x)取得最小值。
(1)当a≥1/2时，f(x)最小=f(1/2)=1/4-1/2+a+1=a+3/4
即：g(a)=a+3/4
(2)当a＜1/2时，f(x)最小=f(a)=a^2-a+a+1=a^2+1
即：g(a)=a^2+1

Answer 2

楼主厉害