Question

设函数f(x)=x^3,g(x)=-x^2+x-2/9a,若存在x0∈[-1,a/3](a>0)使得f(x0)<g(x0),则a的取值范围是？

请写出详细过程

Answer 1

依题意，即：x^3<-x^2+x-2/9a在[-1, a/3]有解
令h(x)=f(x)-g(x)=x^3+x^2-x+2/9a
h'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)=0, 得极值点x=1/3, -1
h(-1)=-1+1+1+2/9a=1+2/9a>0为极大值
h(1/3)=1/27+1/9-1/3+2/9a=-5/27+2/9a为极小值
若a>=1, 则有h(1/3)>=-5/27+2/9>0, 此时在[-1, a/3],h(x)没零点
若0<a<1, 则区间内只有一个极值点-1, 在[-1, a/3]内单调减，要使有解，须:h(a/3)<=0
即a^3/27+a^2/9-a/3+2/9a<=0
a(a^2+3a-3)<=0
a^2+3a-3<=0
解得： 0<a<=[-3+√21]/2