Question

已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn，a1=1，且2nSn+1－2(n+1)Sn=n²+n(n∈N*)

求数列﹛an﹜的通项公式

Answer 1

解答：
2nSn+1－2(n+1)Sn=n²+n
两边同时处以2n(n+1)
∴ S(n+1)/(n+1) - Sn/n=1/2
∴ {Sn/n}是等差数列，首项为a1/1=1, 公差是1/2
∴ Sn/n=1+(1/2)(n-1)=(n+1)/2
∴ Sn=n(n+1)/2
(1) n=1, a1=1
(2) n≥2
an=Sn-S(n-1)
=n(n+1)/2-n(n-1)/2
=n*[(n+1)-(n-1)]/2
=n
n=1也满足上式
∴ an=n

Answer 2

首先等式两边同时除以n(n+1)，得到：
S(n+1)/(n+1)-S(n)/n=1/2
说明数列 S(n)/n 为等差数列，公差为1/2
且a1=1，S1=1，则S1/1=1
即等差数列 S(n)/n 的首项为1
所以 S(n)/n=1+(n-1)*1/2=(n+1)/2
即S(n)=n(n+1)/2=(n^2+n)/2

所以a(n)=S(n)-S(n-1)=(n^2+n)/2-[(n-1)^2+(n-1)]/2=(2n-1+1)/2=n