Question

设函数f（x）=alnx+ax²/2-2x,a∈R①当a=1时，试求f(x)在区间【1，e】上

的最大值。②当a大于等于0时求函数f(x)单调区间。要详细过程，谢谢

Answer 1

1) a=1, f(x)=lnx+x^2/2-2x
f'(x)=1/x+x-2=1/x*(x^2-2x+1)=(x-1)^2/x >=0
因此函数在定义域x>0上单调增
在区间内最大值为f(e)=1+e^2/2-2e

2)a>=0, f'(x)=a/x+ax-2=1/x*(ax^2-2x+a)
a=0时，f'(x)=-2<0,函数在定义域x>0上都单调减
a>0时，解方程ax^2-2x+a=0, 得：判别式delta=4-4a^2
若a>=1, 则有delta<=0, 因此f'(x)>=0, 此时函数在x>0上都单调增
若0<a<1, 则方程有两根x1, x2, 并且两根和=2/a, 两根积=1，即两个都是正根，
记x1=[1-√(1-a^2)]/a, x2=[1+√(1-a^2)]/a
则当x>x2或0<x<x1时，函数单调增
当x1<x<x2时，函数单调减