Question

如图：已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点．

（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；
（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长．

Answer 1

（1）AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°，
作∠D的平分线交AB于O',在DC上截取DE=DA,连O'C,O'D,O'E,则
△O'DE≌△O'DA(SAS),
∴∠OED=∠A=∠B=∠OEC=90°，
CE=CD-AD=BC,
∴△O‘CE≌△O'CB(HL),
∴O'A=O'E=O'B,
∴O'是AB的中点O,
∴命题成立。
（2）由（1），∠COD=(1/2)∠AOB=90°，
∴CD^=OC^+OD^=100，
∴CD=10cm.

Answer 2

【1】连接DB，过点A作AE||DB并交CB延长线于E
那么可以得到AD=EB
因为AD+BC=CD
那么BC+EB=CD＝CE
也就是说三角形CED是等腰三角形，那么∠CED=∠CDE=∠EDA
设DE与AB交于O点，因为AEBD是平行四边形，那么O点必是AB和DE中点
过O点作CD垂线交CD于F
那么三角形ADO与三角形ODF全等，可以得到OF=AO
那么圆O与CD相切【2】过O作OE//BC交CD于点E,
∵AD//BC,O为AB的中点
∴E为CD的中点
∵直角梯形ABCD，∠B=90°，AD//BC
∴OE=(AD+BC)/2
∵AD+BC=CD
∴OE=CE=DE
∴∠ODE=∠DOE,∠OCE=∠COE
∵∠ODE+∠DOE+∠OCE+∠COE=180°
∴∠DOC=∠DOE+∠COE=90°
∴CD²=OD²+OC²
∵OC=8㎝，OD=6㎝
∴CD=10㎝

Answer 3

（1）AD∥BC,∴∠A=∠B=90°，作∠D的平分线交AB于O',在DC上截取DE=DA,连O'C,O'D,O'E,则△O'DE≌△O'DA(SAS),∴∠OED=∠A=∠B=∠OEC=90°，CE=CD-AD=BC,∴△O‘CE≌△O'CB(HL),∴O'A=O'E=O'B,∴O'是AB的中点O,∴命题成立。（2）由（1），∠COD=(1/2)∠AOB=90°，
∴CD^=OC^+OD^=100，∴CD=10cm.呵呵，祝你学习进步，