求积分∫(arctan(1/x)/(1+x^2))dx
2个回答
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嘿嘿，其实这题很简单。
令y = 1/x、x = 1/y、dx = - 1/y² dy
∫ [arctan(1/x)]/(1 + x²) dx
= ∫ arctany/(1 + 1/y²) * (- 1/y² dy)
= ∫ arctany * y²/(1 + y²) * (- 1/y²) dy
= - ∫ arctany/(1 + y²) dy
= - ∫ arctany d(arctany)
= (- 1/2)(arctany)² + C
= (- 1/2)[arctan(1/x)]² + C
令y = 1/x、x = 1/y、dx = - 1/y² dy
∫ [arctan(1/x)]/(1 + x²) dx
= ∫ arctany/(1 + 1/y²) * (- 1/y² dy)
= ∫ arctany * y²/(1 + y²) * (- 1/y²) dy
= - ∫ arctany/(1 + y²) dy
= - ∫ arctany d(arctany)
= (- 1/2)(arctany)² + C
= (- 1/2)[arctan(1/x)]² + C
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为啥我就想不到- -
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可能是你练习太少吧。
这种题目每天应该做100题，做熟就会了。
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网易云信
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∫arctan(1/x)/(1+x^2)*dx
=∫arctan(1/x)*d(arctanx)
=arctan(1/x)*arctanx-∫arctanx*1/[1+(1/x)^2]*(-1/x^2)dx
=arctan(1/x)*arctanx+∫arctanx*1/{[1+(1/x)^2]*x^2}*dx
=arctan(1/x)*arctanx+∫arctanx*1/(x^2+1)*dx
=arctan(1/x)*arctanx+∫arctanx*d(arctanx)
=arctan(1/x)*arctanx+(1/2)(arctanx)^2+C
=∫arctan(1/x)*d(arctanx)
=arctan(1/x)*arctanx-∫arctanx*1/[1+(1/x)^2]*(-1/x^2)dx
=arctan(1/x)*arctanx+∫arctanx*1/{[1+(1/x)^2]*x^2}*dx
=arctan(1/x)*arctanx+∫arctanx*1/(x^2+1)*dx
=arctan(1/x)*arctanx+∫arctanx*d(arctanx)
=arctan(1/x)*arctanx+(1/2)(arctanx)^2+C
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