Question

积分题目

请帮忙解下面的题目

已知f'(e^x) =x, f(1)=0, 求f(x)

谢谢
谢谢大家的回答.
追加一个问题: f'(e^x) =x中,f'(e^x)是对x的导数,还是对e^x的导数?

Answer 1

设f'(x)=g(x)
f'(e^x)=g(e^x)=x
f'(x)=g(x)两边积分
f(x)=∫g(x)dx,设x=e^t,t=lnx
f(x)=∫g(e^t)d(e^t)=∫td(e^t)=te^t-∫e^tdt=te^t-e^t=(lnx-1)x+C
f(1)=-1+C=0,C=1
f(x)=(lnx-1)x+1
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追加一个问题: f'(e^x) =x中,f'(e^x)是对x的导数,还是对e^x的导数?
这个你理解负错了。它是f'(e^x) 把它看成一个函数f'(x)，当x作为自变量为e^x时其函数值为x
比如，f(x))=(lnx-1)x+1,f'(x)=lnx, 当x=e^x时，ln(e^x)=x,就是 f'(e^x)=ln(e^x)=x

Answer 2

令e^x=t x=lnt
f'(t)=lnt
对上边两边求不定积分有
f(t)=tlnt-t+C
因为f(1)=-1+c=0求得C=1
所以f(t)=tlnt-t+1
即：f(x)=xlnx-x+1
复合函数求导请看下面公式：
g(x)=f(u(x))则
g'(x)=f'(u(x)) u'(x)
比如f(e^x)可以看做
g(x)=f(u(x))其中u(x)=e^x

Answer 3

设f'(x)=g(x)
f'(e^x)=g(e^x)=x
f'(x)=g(x)两边积分
f(x)=∫g(x)dx,设x=e^t,t=lnx
f(x)=∫g(e^t)d(e^t)=∫td(e^t)=te^t-∫e^tdt=te^t-e^t=(lnx-1)x+C
f(1)=-1+C=0,C=1
f(x)=(lnx-1)x+1
花了20分钟才算出来的，请采纳