Question

初中数学题，求答

△ABC是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使CE=CD。用尺规作图的方法,过D点作DM垂直于BE，垂足为M（写作法和作图）
求证BM=EM

Answer 1

如图：过D点作DM垂直于BE，垂足为M

由题可知：△ABC是等边三角形 三个角都是60°，BD是AC边上的中线，由等边三角形性质可知

∴BD即是中线又是 AC的垂直平分线 ，又是∠ABC的角平分线

∴∠DBC=30°，

∵∠ACB=60°，∠ACB是△DCE的外角 ，CE=CD

∴∠ACB=∠CDE+∠CED=60°

∠CED=∠ CDE=30°

∵∠DBC=∠CDE=30°

∴△DBE是等腰三角形

根据等腰三角形底边上的高垂直平分底边得

BM=EM

 

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Answer 2

因为D是AC的中点，△ABC是等边三角形，所以BD也是AC 边上的高，BD⊥AC，∠BDC=90°
因为DC=CE, 所以∠CDE=∠CED 又因为∠DCB=60°,所以∠CED=30°
因为∠DBC=90°-60°=30° （也可根据等边三角形的角平分线、高线、中线重合可知）
所以得∠DBC=∠CED=30°，所以三角形BDE为等腰三角形，
由等腰三角形的中垂线可知，中线和垂线重合，所以BM=EM.
作图很简单，分别以B为圆心，以BD为半径画圆，再以E为圆心，以ED为半径画圆，两个圆的之间会有两个交点，把两个交点连接就可以了。

Answer 3

(1)首先以B点为圆心，以BD长为半径画圆，然后再以E点为圆心，以ED长为半径画圆，这样一来就能等到两个交点，然后作过两点的“直线”即可，证明过程如下
∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°
又∵CE=CD ∴∠E=∠CDE=½∠ACB=30°①
又∵BD平分∠ABC（三线合一）∴∠DBC=30°②
由①②知BD=DE
设两个交点分别为F、G
因为同一个圆半径相等∴EF=EG=ED、 BF=BG =BD
又∵BD=DE ∴ EF=EG=BF=BG
又∵垂直平分线上任意点到线段两段距离相等
∴连接的连个点都在垂直平分线上
又∵两点确立一条直线
∴所作“直线”为所求
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，

∴BD平分∠ABC（三线合一），
∴∠ABC=2∠DBE；
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE．
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E；
又∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE．
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．
该题考查了等边三角形和等腰三角形的性质．解题的关键是利用等腰三角形的三线合一的性质
祝：更上一层楼
Ps：纯手打，楼主给分啊！

Answer 4

作图法：过D做圆1交BE与F，G。过F,G做圆2,3相交点做直线及为DM（圆1半径大于DM，2.3大于1/2BE）。如图

证明：

CBD等于30°

CE=CD

CDE=CED=30°

△BDE是等边三角形

所以BE=EM

Answer 5

证明BD=EM，就是证明三角形BED是等腰三角形（三线合一）
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
而AD=DC(D为AC的中点)
∴∠DBC=30°
∵CE=CD
∴∠CDE=∠CED
∵∠ACB=60°(正三角形三个角都为60°)
∴∠CDE=∠CED=30°（三角形的外角等于两个不相邻角的和）
即∠DBC=∠CED=30°
∴三角形BED是等腰三角形
∵DM⊥BE
∴BM=ME

Answer 6

因为等边三角形，所以角ACB等于60°
等边三角形ABC，D是AC中线，所以BD垂直于AC（三线合一）
所以角CBD等于30°
因为CD=CE所以角CED等于30°
所以三角形BDE为等腰三角形
因为DM垂直于BE
所以BM=EM（三线合一）