Question

证明:过椭圆x²/a²+y²/b²=1的中心作一直线与椭圆交于A,B两点, 则当AB与x轴垂直时,

证明:过椭圆x²/a²+y²/b²=1的中心作一直线与椭圆交于A,B两点, 则当AB与x轴垂直时, AB的长度最短

Answer 1

证明：
∵ A，B关于原点对称。
∴ |AB|=2|OA|
设 A(x,y)
∴ x²/a²+y²/b²=1
∴ |OA|²=x²+y²
=x²+b²(1-x²/a²)
=(1-b²/a²)x²+b²
∵ 1-b²/a²>0
∴ x=0时，
|OA|²有最小值为b²
即|OA|的最小值为b,此时x=0
即 OA与x轴垂直。
∴ 当AB与x轴垂直时, AB的长度最短

追问

谢谢 这一题怎么做?在平面直角坐标系xoy中,双曲线x²/a²-y²/b²=1上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8,一条渐近线的倾斜角为arctan3/4,设p为双曲线上一点,过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点M,求三角形OPM的面积S