Question

8、设f(x)为可导函数，且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x)

8、设f(x)为可导函数，且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x)

Answer 1

∫(0,x )f(t)t^2 dt=f(x)+3x ,令x=0,那么：f(0)=0
两边求导得：
f(x)x^2=f'(x)+3，f'(x)=f(x)x^2-3,这是一阶线性方程,通解为：

f(x)=e^(x^3/3)(C-3∫e^(-x^3/3))dx), 代入f(0)=0

f(x)=(-1/3)e^(x^3)∫(0,x)e^(-t^3)dt

e^(-t^3)的原函数不能用初等函数表示出来，f(x)就这样表示了

Answer 2

给你一个提示：
由于f(x)是可导函数，对等式两边分别求导，等式左边利用变上限积分函数求导法则计算，等式右边不用我说了吧。