Question

已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn且a1=1﹐a2=6 Sn=3Sn-1―Sn-2+2^n(n大于等于3) 求Sn

Answer 1

a₁=1，a₂=6，S‹n›=3S‹n-1›-2S‹n-2›+2ⁿ（n大于等于3）
解：a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=2(S‹n-1›-S‹n-2›)+2ⁿ=2a‹n-1›+2ⁿ
故a‹n›-2a‹n-1›=2ⁿ，于是[a‹n›/2ⁿ]-[a‹n-1›/2ⁿֿ¹]=1；
∴{a‹n›/2ⁿ}是首项为1/2，公差为1的等差数列。
故有an/2^n=1/2+(n-1)*1=n-1/2
an=2^n*(n-1/2)=n*2^n-1/2*2^n
Sn=1*2+2*2^2+....+n*2^n-1/2(2+2^2+,,,,+2^n)
设Tn=1*2+2*2^2+...+n*2^n
2Tn=2^2+2*2^3+3*2^4+....+n*2^(n+1)

Tn-2Tn=1*2+2^2+2^3+....+2^n-n*2^(n+1)
-Tn=2(2^n-1)/(2-1)-2n*2^n=2(1-n)*2^n-2
Tn=2-2(1-n)2^n
故Sn=2-2(1-n)2^n-1/2*2(2^n-1)/(2-1)=2-2(1-n)*2^n-(2^n-1)=3-(3-2n)2^n

追问

已知数列﹛an﹜的前n项和为Sn且a1=1﹐a2=6 Sn=3Sn-1―Sn-2+2^n(n大于等于3) 求证﹛an∕2^n﹜是等差数列

追答

a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=2(S‹n-1›-S‹n-2›)+2ⁿ=2a‹n-1›+2ⁿ
故a‹n›-2a‹n-1›=2ⁿ，于是[a‹n›/2ⁿ]-[a‹n-1›/2ⁿֿ¹]=1；
∴{a‹n›/2ⁿ}是首项为1/2，公差为1的等差数列。

Answer 2

你把题目用手机拍下来，