Question

已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解,求此方程的通解?

Answer 1

解法一：∵t和tlnt是原方程线性无关的两个特解
∴根据定理知，原方程的通解是
x=C1*tlnt+C2*t (C1,C2是积分常数)；
解法二：（去掉多余的已知条件“已知t,tlnt是微分方程x``-x`/t+x/t^2=0的解”，直接求解）
令z=lnt，则tx'=dx/dz，t²x''=d²x/dz²-dx/dz
∵x``-x`/t+x/t²=0
==>t²x''-tx'+x=0
==>(d²x/dz²-dx/dz)-dx/dz+x=0
∴d²x/dz²-2dx/dz+x=0..........(1)
∵方程(1)的特征方程是r²-2r+1=0，则r=1(二重根)
∴方程(1)的通解是x=(C1*z+C2)e^z (C1,C2是积分常数)
==>x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t
故原方程的通解是x=(C1*lnt+C2)t=C1*tlnt+C2*t (C1,C2是积分常数)。